弧度制与坐标系

弧度制

在初中已经学习过角度值,但是角度不是一个数,这给深入研究带来了一定的困难,还有其他的问题无法解释清,所以换用弧度制描述角。

首先用旋转的思路定义角,角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。开始的位置称为始边,结束的位置称为终边。

弧度制规定,按 逆时针 方向旋转形成的角叫做 正角,按 顺时针 方向旋转所形成的角叫做 负角,如果这条射线没有做任何旋转,称为 零角。这样就把角的概念推向了 任意角

然后介绍 弧度制,把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 弧度的角,用符号 表示,读作:弧度。

一般地,正角的弧度数为正,负角的弧度数为负,零角的弧度数为 ,如果半径为 的圆的圆心角 所对弧长为 ,则 。利用这个公式还可以写出弧长和扇形面积公式,在此略过。

于是可以发现, 的角弧度数为 ,这样有了对应关系之后就可以进行角度值和弧度制的转化了。

考虑一个角,将其终边再旋转一周,甚至多周,始边位置不动,那么终边位置永远是相同的,称这些角为 终边位置相同的角

与角 终边位置相同的角的集合很容易得出,为

可以理解为:给这个角的边不停加转一圈,终边位置不变。

两个数学常数

目前西方数学界有一些观点认为,“真正的圆周率”应为 ,将这个值记为希腊字母 。新圆周率的支持者们选择在 6 月 28 日庆祝“真正的”圆周率日。

比如,在弧度制下,一个周角是 ,直接对 进行等分可以得到周角的等分。又例如,在复变函数中频繁出现 的组合,等等。

为了迎合中国各地区约定俗成的习惯,在 OI Wiki,采用参数 表示圆周率。

圆周率的习惯写法

一般在 C 语言中取 acos(-1),只有这个值是最接近 的浮点数。使用 acos(-1) 或者 4*atan(1) 写出来的

采用其他值,例如 acos(-1.0/2.0)acos(1.0/2.0)asin(1.0/2.0) 等等,写出来的 ,这就不是最接近 的浮点数了。

平面直角坐标系

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系(Rectangular Coordinates)。

通常,两条数轴分别置于水平位置与垂直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做 轴(x-axis)或横轴,垂直的数轴叫做 轴(y-axis)或纵轴, 轴统称为坐标轴,它们的公共原点 称为平面直角坐标系的原点(origin),以点 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系

轴将坐标平面分成了四个象限(quadrant),右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下, 轴取相同的单位长度,但在特殊的情况下,也可以取不同的单位长度。

在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序数对(即点的坐标(coordinates))与它对应;反过来,对于任意一个有序数对,都有平面上唯一的一点与它对应。

对于平面内任意一点 ,过点 分别向 轴、 轴作垂线,垂足在 轴、 轴上的对应点 分别叫做点 的横坐标、纵坐标,有序数对(ordered pair) 叫做点 C 的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上,点的坐标不一样。

平面极坐标系

考虑实际情况,比如航海,说「点 在点 的北偏东 方向上,距离为 米」,而不是「以 为原点建立平面直角坐标系,」。

这样,在平面上选一定点 ,称为 极点,自极点引出一条射线 ,称为 极轴,再选择一个单位长度(在数学问题中通常为 ),一个角度单位(通常为弧度)及其正方向(通常为逆时针方向),这样就建立了 极坐标系

在极坐标系下如何描述位置?

为平面上一点,极点 之间的距离 即为 极径,记为 ;以极轴为始边, 为终边的角 极角,记为 ,那么有序数对 即为 极坐标

由终边相同的角的定义可知, 其实表示的是一样的点,特别地,极点的极坐标为 ,于是平面内的点的极坐标表示有无数多种。

如果规定 ,那么除极点外,其他平面内的点可以用唯一有序数对 表示,而极坐标 表示的点是唯一确定的。

当然,有时候研究极坐标系下的图形有些不方便。要想转到直角坐标系下研究,有互化公式。点 的直角坐标 可以如下表示:

进而可知:

于是,极角 ,这样就可以求出极角了。

在编程中,若要求反正切函数,尽量使用 atan2(y, x),这个函数用途比 atan(x) 广泛。

空间直角坐标系

空间任意选定一点 ,过点 作三条互相垂直的数轴 ,它们都以 为原点且具有相同的长度单位。这三条轴分别称作 轴(横轴), 轴(纵轴), 轴(竖轴),统称为坐标轴。它们的正方向符合右手规则,即以右手握住 轴,当右手的四个手指 轴的正向以 角度转向 轴正向时,大拇指的指向就是 轴的正向。这样就构成了一个空间直角坐标系,称为空间直角坐标系 。定点 称为该坐标系的原点。

任意两条坐标轴确定一个平面,这样可确定三个互相垂直的平面,统称为坐标面。其中 轴与 轴所确定的坐标面称为 面,类似地有 面和 面。三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限。

取定空间直角坐标系 后,就可以建立空间的点与一个有序数组之间的一一对应关系。

设点 为空间的一点,过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面。设三个平面与 轴、 轴和 轴的交点依次为 ,点 分别称为点 轴、 轴和 轴上的投影。又设点 轴、 轴和 轴上的坐标依次为 ,于是点 M 确定了一个有序数组 。反之,如果给定一个有序数组 ,可以在 轴上取坐标为 的点 ,在 轴上取坐标为 的点 ,在 轴上取坐标为 的点 ,然后点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的三个平面,它们相交于空间的一点 ,点 就是由有序数组 所确定的点。这样一来,空间的点 与有序数组 之间就建立了一一对应的关系。把有序数组 称为点 的坐标,记作 ,其中 称为横坐标、 称为纵坐标、 称为竖坐标。

空间柱坐标系

空间柱坐标系,将极坐标扩展为三维的方式:从应用于平面工作中的二维系统开始,然后添加垂直于该平面的第三轴。

假如将第三轴称为 轴,为了找到由圆柱坐标 所描述的点,可以首先处理 ,然后根据 坐标“向上”或“向下”移动。

空间球坐标系

球面坐标可以以以下方法确定:

首先站在原点,面向水平极轴的方向。垂直轴的指向是从脚指向头部。右臂向上,指向垂直极轴方向;逆时针旋转角度 ;将手臂向下旋转角度 ,手臂指向极角 指定的方向;沿着该方向从原点移位距离 。到达球面坐标 所描述的点。


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