最小割

概念

割

对于一个网络流图 $G = (V, E)$ ，其割的定义为一种 点的划分方式：将所有的点划分为 $S$ 和 $T = V - S$ 两个集合，其中源点 $s \in S$ ，汇点 $t \in T$ 。

割的容量

我们的定义割 $(S, T)$ 的容量 $c (S, T)$ 表示所有从 $S$ 到 $T$ 的边的容量之和，即 $c (S, T) = \sum_{u \in S, v \in T} c (u, v)$ 。当然我们也可以用 $c (s, t)$ 表示 $c (S, T)$ 。

最小割

最小割就是求得一个割 $(S, T)$ 使得割的容量 $c (S, T)$ 最小。

证明

最大流最小割定理

参见最大流页面最大流最小割定理一节。

代码

最小割

通过 最大流最小割定理，我们可以直接得到如下代码：

参考代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

constexpr int N = 1e4 + 5, M = 2e5 + 5;
int n, m, s, t, tot = 1, lnk[N], ter[M], nxt[M], val[M], dep[N], cur[N];

void add(int u, int v, int w) {
  ter[++tot] = v, nxt[tot] = lnk[u], lnk[u] = tot, val[tot] = w;
}

void addedge(int u, int v, int w) { add(u, v, w), add(v, u, 0); }

int bfs(int s, int t) {
  memset(dep, 0, sizeof(dep));
  memcpy(cur, lnk, sizeof(lnk));
  std::queue<int> q;
  q.push(s), dep[s] = 1;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
      int v = ter[i];
      if (val[i] && !dep[v]) q.push(v), dep[v] = dep[u] + 1;
    }
  }
  return dep[t];
}

int dfs(int u, int t, int flow) {
  if (u == t) return flow;
  int ans = 0;
  for (int &i = cur[u]; i && ans < flow; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (val[i] && dep[v] == dep[u] + 1) {
      int x = dfs(v, t, std::min(val[i], flow - ans));
      if (x) val[i] -= x, val[i ^ 1] += x, ans += x;
    }
  }
  if (ans < flow) dep[u] = -1;
  return ans;
}

int dinic(int s, int t) {
  int ans = 0;
  while (bfs(s, t)) {
    int x;
    while ((x = dfs(s, t, 1 << 30))) ans += x;
  }
  return ans;
}

int main() {
  scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
  while (m--) {
    int u, v, w;
    scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
    addedge(u, v, w);
  }
  printf("%d\n", dinic(s, t));
  return 0;
}

方案

我们可以通过从源点 $s$ 开始 DFS，每次走残量大于 $0$ 的边，找到所有 $S$ 点集内的点。

void dfs(int u) {
  vis[u] = 1;
  for (int i = lnk[u]; i; i = nxt[i]) {
    int v = ter[i];
    if (!vis[v] && val[i]) dfs(v);
  }
}

割边数量

如果需要在最小割的前提下最小化割边数量，那么先求出最小割，把没有满流的边容量改成 $\infty$ ，满流的边容量改成 $1$ ，重新跑一遍最小割就可求出最小割边数量；如果没有最小割的前提，直接把所有边的容量设成 $1$ ，求一遍最小割就好了。

问题模型 1

有 $n$ 个物品和两个集合 $A, B$ ，如果一个物品没有放入 $A$ 集合会花费 $a_{i}$ ，没有放入 $B$ 集合会花费 $b_{i}$ ；还有若干个形如 $u_{i}, v_{i}, w_{i}$ 限制条件，表示如果 $u_{i}$ 和 $v_{i}$ 同时不在一个集合会花费 $w_{i}$ 。每个物品必须且只能属于一个集合，求最小的代价。

这是一个经典的 二者选其一 的最小割题目。我们对于每个集合设置源点 $s$ 和汇点 $t$ ，第 $i$ 个点由 $s$ 连一条容量为 $a_{i}$ 的边、向 $t$ 连一条容量为 $b_{i}$ 的边。对于限制条件 $u, v, w$ ，我们在 $u, v$ 之间连容量为 $w$ 的双向边。

注意到当源点和汇点不相连时，代表这些点都选择了其中一个集合。如果将连向 $s$ 或 $t$ 的边割开，表示不放在 $A$ 或 $B$ 集合，如果把物品之间的边割开，表示这两个物品不放在同一个集合。

最小割就是最小花费。

问题模型 2

最大权值闭合图，即给定一张有向图，每个点都有一个权值（可以为正或负或 $0$ ），你需要选择一个权值和最大的子图，使得子图中每个点的后继都在子图中。

做法：建立超级源点 $s$ 和超级汇点 $t$ ，若节点 $u$ 权值为正，则 $s$ 向 $u$ 连一条有向边，边权即为该点点权；若节点 $u$ 权值为负，则由 $u$ 向 $t$ 连一条有向边，边权即为该点点权的相反数。原图上所有边权改为 $\infty$ 。跑网络最大流，将所有正权值之和减去最大流，即为答案。

几个小结论来证明：

每一个符合条件的子图都对应流量网络中的一个割。因为每一个割将网络分为两部分，与 $s$ 相连的那部分满足没有边指向另一部分，于是满足上述条件。这个命题是充要的。
最小割所去除的边必须与 $s$ 和 $t$ 其中一者相连。因为否则边权是 $\infty$ ，不可能成为最小割。
我们所选择的那部分子图，权值和 $=$ 所有正权值之和 $-$ 我们未选择的正权值点的权值之和 $+$ 我们选择的负权值点的权值之和。当我们不选择一个正权值点时，其与 $s$ 的连边会被断开；当我们选择一个负权值点时，其与 $t$ 的连边会被断开。断开的边的边权之和即为割的容量。于是上述式子转化为：权值和 $=$ 所有正权值之和 $-$ 割的容量。
于是得出结论，最大权值和 $=$ 所有正权值之和 $-$ 最小割 $=$ 所有正权值之和 $-$ 最大流。

习题

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