PQ 树

PQ 树是一种基于树的数据结构,代表一组元素上的一系列排列,由 Kellogg S. Booth 和 George S. Lueker 于 1976 年发现命名,用来解决以下问题

给出 m 个集合 S_i ,你要找到一个 1\sim n 的排列,使得每个集合内的元素都相邻。

PQ 树可以在 O(n+\sum|S_i|) 时间内构建。本文中介绍的构建方法时间复杂度为 O(nm)

定义

PQ 树有三种结点:叶子结点P 结点Q 结点。其中叶子结点代表排列中的一个元素,P 结点表示它的子结点可以任意排列,Q 结点表示它的儿子顺序可以反转。所有非叶子结点都是 P 结点或 Q 结点中的一种。P 结点至少有 2 个儿子,Q 结点至少有 3 个儿子。
由于结点的定义,PQ 树本身代表了 所有的 合法方案,其先序遍历就是其中之一。
下图是一棵 PQ 树。

其先序遍历 1,2,3,4,5 代表了一个合法方案。如果 P 结点的儿子重排列为 4,2,3,我们得到了另一个合法方案 1,4,2,3,5。保持 P 结点儿子顺序不变,Q 结点的儿子顺序反转,得到了另一个合法方案 5,3,2,4,1。

构建

PQ 树使用儿子 - 兄弟表示法。

我们增量构建一棵 PQ 树。

首先建立一棵树,其根为 P,总共 n 个儿子,分别是 1,2,\ldots,n ,代表没有任何限制时的 PQ 树。随着限制的不断加入,我们不断修改这棵树。

当加入一个新的限制集合 S 时,我们把所有属于这个集合的叶子结点标记为 黑色,不在这个集合内的叶子结点标记为 白色。对于所有非叶子结点,如果其所有儿子均为黑色,将其也标记为黑色;如果其所有儿子均为白色,将其也标记为白色;否则将其标记为 灰色。在下面的图中,黑色结点、白色结点、灰色结点分别用黑色、灰色、一半黑一半灰来表示。

我们要求 PQ 树中的结点按照颜色排序。

自底向上法

包含所有黑色结点的最小子树被称为 相关子树,相关子树的根(不一定是整棵树的根)被称为 相关根

添加一个限制的过程被称为 reduction。一次 reduction 分为两个阶段:冒泡阶段和减少阶段。

冒泡阶段

冒泡阶段只处理相关子树。我们将相关子树中的所有结点标记为黑色或灰色,并为每个结点计算其拥有的相关子结点数量。为了高效地完成这个过程,我们从叶子往根处理相关子树。这需要记录每个点的父亲结点,但在减少阶段一个点的父亲结点经常要被修改。为了在线性时间内构造,只有 P 结点的儿子和 Q 结点的最后一个儿子 始终记录正确的父亲结点。对于 Q 结点的其他儿子,在冒泡阶段用最后一个儿子的父亲更新他们的父亲。

当遇到一个中间的结点时,我们看一下它的兄弟是否已经有合法的父亲结点。如果没有,将其标记为 阻塞 的。如果后面它的兄弟有了合法的父亲,那么修改这个结点的父亲并且取消标记。如果在冒泡阶段结束时,仍然有一段连续的阻塞结点(如下面的情况 Q3),一个没有父结点的“伪结点”成为该块的父结点,并在减少阶段时被去除。

减少阶段

减少阶段用一个队列来处理结点。首先将所有限制内的叶子结点加入队列。每次取出队首的结点 u 并处理。如果 u 的父亲也是相关子树内的结点,那么将 \mathit{fa}_u 入队。
对于每一个结点 u ,我们分情况讨论。如果不属于其中任何一种情况,则无解。

叶子结点

u 标记为黑色。

P 结点

如果所有儿子均为黑色,将 u 标记为黑色。

如果 u 有黑色儿子和白色儿子,且 u 是相关根,那么新建一个 P 结点 v 成为它所有黑色儿子的根。

如果 u 有黑色儿子和白色儿子,且 u 不是相关根,那么做以下操作:

  • 新建一个 P 结点 f 成为所有黑色儿子的根。
  • 新建一个 P 结点 e 成为所有白色儿子的根。
  • 如果 e (和/或 f )只有一个儿子,那么不要新建结点,而是将 e (和/或 f )直接赋值成那个儿子。
  • u 改成 Q 结点并把其儿子设为 e f ,将其标记为灰色。

注意到根据之前的定义,Q 结点至少有 3 个儿子,因此这里的 u 被视为一个”伪结点“,并且将在后面被继续处理。

如果 u 有一个灰色儿子 p ,且 u 是相关根,那么新建一个 P 结点 v 作为其所有黑色儿子的根,将 v 的兄弟设为 p 最后一个一个黑色儿子,然后把 v 设为 p 的最后一个儿子。

如果 u 有一个灰色儿子 p ,且 u 不是相关根,那么进行以下操作:

  • 新建一个 P 结点 f 成为所有黑色儿子的根。
  • 新建一个 P 结点 e 成为所有白色儿子的根。
  • 如果 e (和/或 f )只有一个儿子,那么不要新建结点,而是将 e (和/或 f )直接赋值成那个儿子。
  • e 的兄弟设为 p 最后一个白色儿子,然后把 e 设为 p 的最后一个儿子。
  • f 的兄弟设为 p 最后一个黑色儿子,然后把 f 设为 p 的最后一个儿子。


如果 u 恰有两个灰色儿子 p_1,p_2 ,那么进行以下操作:

  • 新建一个 P 结点 f 成为所有黑色儿子的根。
  • 如果 f 只有一个儿子,那么不要新建结点,而是将 f 直接赋值成那个儿子。
  • p_1 的最后一个黑色儿子的兄弟设为 f
  • f 的兄弟设为 p_2 的最后一个黑色儿子。
  • p_2 的最后一个儿子设为 p_2 的最后一个白色儿子。

可以发现这样 p_2 就被合并进了 p_1

Q 结点

如果 u 只有黑色儿子,那么将 u 标记成黑色。(下面的图的形状错了。)

如果 u 有一个灰色儿子 p ,且所有标记相同的儿子均连续出现,那么进行如下操作:

  • p_f p 最后一个黑色儿子, p_e p 最后一个白色儿子, f p 的黑色兄弟, e p 的白色兄弟。
  • f 的兄弟设为 p_f e 的兄弟设为 p_e
  • 如果 p 没有一个白色兄弟或黑色兄弟,将 u 的最后一个儿子设成 p 的最后一个儿子。
  • 删除 p


如果 u 恰有两个灰色儿子 p_1,p_2 ,且所有标记相同的儿子均连续出现,那么对 p_1,p_2 都进行上一种操作即可。

该构建方法是原论文中的,但是实现较为不便。

自顶向下法

目前 OI 中的实现大多采用该方法。其实方法类似,下面出现的情况基本都能在上面找到。

注意到根据之前的染色过程,所有黑色和白色的点都已经满足条件,因此我们 只需要处理灰色结点

P 结点

  • 如果 u 有多于两个灰色儿子,无解。
  • 如果 u 只有一个灰色儿子,且没有黑色儿子,递归处理灰色儿子。
  • 否则先清空 u 的儿子,然后加入所有的白色儿子。新建一个 Q 结点 q_1 并成为 u 的儿子。在 q_1 中加入所有的灰色儿子。新建一个 P 结点 p 作为所有黑色儿子的根,将 p 插入 q_1 的中间。(对应了自底向上法 P 结点的所有情况。)

注意到我们会要求两个灰色节点白色全在左侧,黑色全在右侧(或相反),因此我们需要实现一个分裂函数 split,可以把这个子树的点分裂成黑白部分,并同时保留分裂成的子树的节点的 所有可能

Q 结点

  • 找到最左边和最右边的非白色节点位置 l,r 。如果 [l+1,r-1] 内有非黑色节点,无解。
  • 如果没有黑色节点,只有一个灰色节点,递归处理这个灰色节点,否则只需要将 l r 位置的节点分裂。

分裂函数

令要分裂的点为 u ,我们想把 u 分裂成左边全是白色,右边全是黑色的森林。如果 u 不是灰色结点则直接返回子树。只考虑灰色结点的情况。 如果 u 是 P 类结点:

  • 如果 u 有至少两个灰色儿子,则无解。
  • 否则左边是所有白色儿子,中间递归处理灰色儿子,右边是所有黑色儿子。注意到要保留所有的可能,因此要新建两个 P 结点分别作为白色儿子和黑色儿子的根。(对应自底向上法的 P4 情况。)
  • 删除 u

如果 u 是 Q 类结点:

  • 如果正序和反序都不满足白 - 灰 - 黑,则无解。
  • 如果有至少两个灰色儿子,也无解。
  • 否则递归分裂灰色儿子即可。
  • 删除 u

最后把所有多余的结点(只有一个儿子的结点)删除。

代码实现

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class PQTree {
 public:
  PQTree() {}

  void Init(int n) {
    n_ = n, rt_ = tot_ = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) g_[rt_].emplace_back(i);
  }

  void Insert(const std::string &s) {
    s_ = s;
    Dfs0(rt_);
    Work(rt_);
    while (g_[rt_].size() == 1) rt_ = g_[rt_][0];
    Remove(rt_);
  }

  std::vector<int> ans() {
    DfsAns(rt_);
    return ans_;
  }

  ~PQTree() {}

 private:
  int n_, rt_, tot_, pool_[100001], top_, typ_[100001] /* 0-P 1-Q */,
      col_[100001] /* 0-black 1-white 2-grey */;
  std::vector<int> g_[100001], ans_;
  std::string s_;

  void Fail() {
    std::cout << "NO\n";
    std::exit(0);
  }

  int NewNode(int ty) {
    int x = top_ ? pool_[top_--] : ++tot_;
    typ_[x] = ty;
    return x;
  }

  void Delete(int u) { g_[u].clear(), pool_[++top_] = u; }

  void Dfs0(int u) {  // get color of each node
    if (u >= 1 && u <= n_) {
      col_[u] = s_[u] == '1';
      return;
    }
    bool c0 = false, c1 = false;
    for (auto &&v : g_[u]) {
      Dfs0(v);
      if (col_[v]) c1 = true;
      if (col_[v] != 1) c0 = true;
    }
    if (c0 && !c1)
      col_[u] = 0;
    else if (!c0 && c1)
      col_[u] = 1;
    else
      col_[u] = 2;
  }

  bool Check(const std::vector<int> &v) {
    int p2 = -1;
    for (int i = 0; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
      if (col_[v[i]] == 2) {
        if (p2 != -1) return false;
        p2 = i;
      }
    if (p2 == -1)
      for (int i = 0; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
        if (col_[v[i]]) {
          p2 = i;
          break;
        }
    for (int i = 0; i < p2; i++)
      if (col_[v[i]]) return false;
    for (int i = p2 + 1; i < static_cast<int>(v.size()); i++)
      if (col_[v[i]] != 1) return false;
    return true;
  }

  std::vector<int> Split(int u) {
    if (col_[u] != 2) return {u};
    std::vector<int> ng;
    if (typ_[u]) {  // Q
      if (!Check(g_[u])) {
        std::reverse(g_[u].begin(), g_[u].end());
        if (!Check(g_[u])) Fail();
      }
      for (auto &&v : g_[u])
        if (col_[v] != 2) {
          ng.emplace_back(v);
        } else {
          auto s = Split(v);
          ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
        }
    } else {  // P
      std::vector<int> son[3];
      for (auto &&x : g_[u]) son[col_[x]].emplace_back(x);
      if (son[2].size() > 1) Fail();
      if (!son[0].empty()) {
        int n0 = NewNode(0);
        g_[n0] = son[0];
        ng.emplace_back(n0);
      }
      if (!son[2].empty()) {
        auto s = Split(son[2][0]);
        ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
      }
      if (!son[1].empty()) {
        int n1 = NewNode(0);
        g_[n1] = son[1];
        ng.emplace_back(n1);
      }
    }
    Delete(u);
    return ng;
  }

  void Work(int u) {
    if (col_[u] != 2) return;
    if (typ_[u]) {  // Q
      int l = 1e9, r = -1e9;
      for (int i = 0; i < static_cast<int>(g_[u].size()); i++)
        if (col_[g_[u][i]]) checkmin(l, i), checkmax(r, i);
      for (int i = l + 1; i < r; i++)
        if (col_[g_[u][i]] != 1) Fail();
      if (l == r && col_[g_[u][l]] == 2) {
        Work(g_[u][l]);
        return;
      }
      std::vector<int> ng;
      for (int i = 0; i < l; i++) ng.emplace_back(g_[u][i]);
      auto s = Split(g_[u][l]);
      ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
      for (int i = l + 1; i < r; i++) ng.emplace_back(g_[u][i]);
      if (l != r) {
        s = Split(g_[u][r]);
        std::reverse(s.begin(), s.end());
        ng.insert(ng.end(), s.begin(), s.end());
      }
      for (int i = r + 1; i < static_cast<int>(g_[u].size()); i++)
        ng.emplace_back(g_[u][i]);
      g_[u] = ng;
    } else {  // P
      std::vector<int> son[3];
      for (auto &&x : g_[u]) son[col_[x]].emplace_back(x);
      if (son[1].empty() && son[2].size() == 1) {
        Work(son[2][0]);
        return;
      }
      g_[u].clear();
      if (son[2].size() > 2) Fail();
      g_[u] = son[0];
      int n1 = NewNode(1);
      g_[u].emplace_back(n1);
      if (son[2].size() >= 1) {
        auto s = Split(son[2][0]);
        g_[n1].insert(g_[n1].end(), s.begin(), s.end());
      }
      if (son[1].size()) {
        int n2 = NewNode(0);
        g_[n1].emplace_back(n2);
        g_[n2] = son[1];
      }
      if (son[2].size() >= 2) {
        auto s = Split(son[2][1]);
        std::reverse(s.begin(), s.end());
        g_[n1].insert(g_[n1].end(), s.begin(), s.end());
      }
    }
  }

  void Remove(int u) {  // remove the nodes with only one child
    for (auto &&v : g_[u]) {
      int tv = v;
      while (g_[tv].size() == 1) {
        int t = tv;
        tv = g_[tv][0];
        Delete(t);
      }
      v = tv, Remove(v);
    }
  }

  void DfsAns(int u) {
    if (u >= 1 && u <= n_) {
      ans_.emplace_back(u);
      return;
    }
    for (auto &&v : g_[u]) DfsAns(v);
  }
} T;

习题

参考资料


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